A Short Introduction to Plasma Physics

摘要🍒

本文包括了对等离子体现象的某些物理基础的讨论。在第二部分我们介绍了等离子体的关键特性，例如准中性、屏蔽（拜德屏蔽？）、粒子输运过程以及等离子体鞘的形成。在第三部分中我们描述了最简单的等离子体模型：从单粒子轨迹和等离子体流体动力学的基本原理推导出的集体现象（漂移）。最后讨论了均匀无界的冷等离子体的波动现象。

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简介🍓

等离子体在自然界中以很多种形式存在，并在科技生产中有着广泛的应用。它是有以下几种物质组成的特殊电离气体：

• 带正电荷的离子（正离子）
• 电子
• 中性粒子（原子，分子以及自由基）

（在特殊条件下，等离子体也可能包含负离子，但我们之后不会讨论这种情况，因此之后的离子普遍代表“正离子”。）我们将呈现_准中性_，并且其特性由电磁力控制的电离气体称为“等离子体”。

​由于自由离子的存在，使用等离子体作为离子源是很自然的事情，对于这种特殊情况，等离子体是通过适当形式的低压气体放电产生的，由此产生的等离子体通常被称作“低温等离子体”。尽管电子可能达到数万卡尔文的高温（比太阳表面的温度更高），而离子和中性气体的或多或少只能算是温暖，但是由于电子的质量很低，无法将它们的热能传递给更重的等离子体部分（离子或者中性气体部分）或者enclosing walls（ 这个不知道是什么意思，翻译不出来… ）。因此，这种类型的冷等离子体不会向其周围的环境传递太多热量，因此可以更准确地将其描述为“低熵-等离子体”。

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关键的等离子体性质🍎

粒子密度

​由于自由运动电荷的存在，等离子体会对电磁场响应，传导电流，并具有明确定义的空间势。

​正离子可能带有单个电荷或者多个电荷。对于包含单个电荷的离子，离子群可以被离子密度$n_i$充分描述：

$$n_{\mathrm{i}}=\frac{\text { number of particles(粒子数量) }}{\text { volume(体积) }}, \quad\left[n_{\mathrm{i}}\right]=\mathrm{cm}^{-3} \text { or }\left[n_{\mathrm{i}}\right]=\mathrm{m}^{-3} \text { . }$$

除了离子密度，我们还可以通过电子密度$n_e$以及中性气体部分的密度$n_a$描述等离子体。

电离度，准中性

​等离子体的准中性意味着正负电荷的密度（几乎）相等。在单电荷离子的例子中，表示为：

$$n_{\mathrm{i}} \approx n_{\mathrm{e}}$$

在多电荷离子的情况下，我们需要修改这个关系式。如果$z$表示正电荷离子的电荷数，$n_z$表示具有z个电荷的离子的密度，电中性的条件表示为：

$$n_{\mathrm{e}} \approx \sum_{z} z \cdot n_{z}$$

电离度用粒子密度而不是电荷密度来定义。然而，这里有两种不同的定义来使用：

$$\eta_{\mathrm{i}}=\frac{\sum_{z} n_{z}}{n_{\mathrm{a}}+\sum_{z} n_{2}} \quad \text { and } \quad \eta_{\mathrm{i}}^{\prime}=\frac{\sum_{z} n_{z}}{n_{\mathrm{a}}}$$

严格来说，通常情况下$\eta_{\mathrm{i}}^{\prime}$是对$\eta_i <<1$时的$\eta_i$的估计。离子源等离子体$\eta_i$的典型值在$10^{-5}$到$10^{-3}$之间，完全电离的等离子体$\eta_i = 1$（在这种情况下$\eta_i^{\prime} \rightarrow \infty$）。

图一 电荷分离过程示意

为了进一步研究电中性，我们假设等离子体中的电子云移动到了一个确定的区域内，形成了一个负电荷区域。类似的离子云在$L = \delta x$的距离内不存在电子，形成一个正电荷区域（见图一）。因此，我们可以在这些电荷空间的共同边界处得到一个最大值的电场$\overline{E_{max}}$。并且可以通过泊松方程得到这个最大电场的估计值：

$$E_{\max }=\frac{e \cdot n_{\mathrm{i}} \cdot \delta x}{\varepsilon_{0}}$$

$E$的的方向取决于电场力使得两团粒子云趋向于相互重叠。这里$e$是基本正电荷，$\varepsilon_0$是真空中的介电常数。

为了进一步讨论，我们计算了带电粒子通过空间电荷层移动$\delta x$后的势能增量（电场力做功）$W_{pot}$：

$$W_{\mathrm{pot}}=\int_{0}^{\delta x} e E \mathrm{~d} x=\frac{e^{2} n_{\mathrm{e}}(\delta x)^{2}}{2 \varepsilon_{0}}$$

唯一可以用来为上述电势能提供能量的是电子的热能（当然也有离子，但是因为离子的温度相较于电子较低，离子的热能在低温等离子体（比如离子源等离子体）中可以被忽略），对于一个自由度的运动，其能量平均为 $\frac{1}{2}k_{B}T_{e}$。因此，我们可以认为偏离电中性的尺度由下式定义出来的一个长度指标来表示：

$$W_{\mathrm{pot}}=\frac{1}{2} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}$$

也就是对应我们所谓的德拜-休克尔（Debye-Hückel）长度$\lambda_D$：

$$\lambda_{\mathrm{D}}=\left(\frac{\varepsilon_{0} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}}{e^{2} n_{\mathrm{e}}}\right)^{1 / 2}$$

该长度的数值可以由下式给出（见图二）:

$$\lambda_{\mathrm{D}} / \mathrm{m}=7.434 \times 10^{3}\left(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}} / \mathrm{eV}\right)^{1 / 2} /\left(n_{\mathrm{e}} / \mathrm{m}^{-3}\right)^{1 / 2}$$

图二 不同温度下德拜长度与电子数之间的关系

另一方面，我们可能会问在给定长度$L$上等离子体可能偏离电中性的总量是多少$\Delta n = |n_e-n_i|$。再次强调，我们只有热能是可用的，（热能转化为电势能）因此有：

$$\frac{1}{2} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}} \approx \frac{1}{2} \frac{e^{2}}{\varepsilon_{0}} \cdot \Delta n \cdot L$$

利用$k_{\mathrm{B}}T_{\mathrm{e}}$ 与 $\lambda_D$ 的关系我们可以得到：

$$\frac{\Delta n}{n} \approx\left(\frac{\lambda_{\mathrm{D}}}{L}\right)^{2}$$

以此来估计$\Delta n$的大小。

我们可以假设电中性的条件为$\Delta n \ll n_{\mathrm{e}} ,n_\mathrm{i}$，根据方程（10）这就等价于$L \gg \lambda_{\mathrm{D}}$。这意味着为了满足形成等离子体的条件，电离气体的延伸必须要远大于德拜-休克尔长度，等离子体的电中性被定义在一个宏观尺度上，如果我们从宏观尺度来看等离子体，会发现随着尺度的减小，其偏离电中性的程度逐渐增加。

由于等离子体中，由于电子的质量相对于离子的质量要轻很多，所以电子对于准中性状态下的电势差异起着主要的响应作用，因此，计算德拜长度所采用的温度是电子温度$T_{\mathrm{e}}$。

等离子振荡

当等离子体中各自带有正负电荷的粒子分开一定距离之后会出现极化电场，相互之间收到极化产生的作用力，其电场强度为：

$$E = \frac{e}{\epsilon_{0}} nx$$

在我们只关注电子的情况下（电子质量更低，更容易因为受力而发生运动），单个电子受到的电场力为：

$$F = eE = \frac{e^2}{\epsilon_{0}} nx = m_e \frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}$$

即有：

$$\frac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d} t^2}+(- \frac{e^2 n}{\epsilon_{0} m_\mathrm{e}}) = 0$$

这是典型的振荡方程，其频率为：

$$\omega_{\mathrm{pe}}=\left(\frac{e^{2} n}{\varepsilon_{0} m_{\mathrm{e}}}\right)^{1 / 2}$$

这被称作为“电子等离子体频率”。一个典型的电子振荡频率为：$\omega_{\mathrm{pe}}=2 \pi \times 8.9 \times 10^{8} \mathrm{~s}^{-1}$

更加深入的进行分析表明各种声波（acoustic waves）可以在等离子体中进行传播，由于电子和离子的不同响应程度，他们的频率是辨识各种波的一个重要参数。

通过将上面式子中的质量改成离子的质量就可以获得离子等离子体频率，它是离子的自然频率并且在“离子鞘层”中起作用（离子鞘层是等离子体在边界处发生的一种非线性效应，后面再作具体解释。），在等离子体中，在这个频率的离子声波会受到很强的限制（strongly damped）。我们认为“电中性”是一种等离子体的动力学平衡态，这表明局部的电场差异在时间尺度上小于 （电子）等离子体频率 以及在空间尺度上大于 德拜-休克尔长度 。这些电场差异可能是由于等离子体组分中间的热能产生并且趋向于达到中性平衡态，因此我们一般认为等离子体是近似中性的—— 准中性（quasi-neutral） 。

作为气体的等离子体

根据动理论，利用单个粒子特性在粒子分布函数上的平均以及一些与平均特性相关的各种热力学参数（压力、温度以及密度等）就足够描述一种气体的状态。

如果粒子之间的距离足够大（满足等离子体条件），等离子体动理论是经典的玻尔兹曼统计。对于电子来说，它们之间平均距离可以是：

$$\lambda_{\mathrm{n}} = 1/(n_{\mathrm{e}})^{1/3}$$

这要比平均的电子德布罗意波长要大：

$$\lambda_{\mathrm{B}} = h/m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{th}} \\ \ \\ \frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{th}}^{2}=k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}$$

否则等离子体就会衰退（degenerate）。

如果电子与粒子之间中的势能小于粒子间平均动能$\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}$ ，等离子体可以被描述成一种理想气体，也就是说：

$$\frac{3}{2} k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}} >> \frac{e^2}{4 \pi \epsilon_{0} \lambda_{\mathrm{n}}}$$

利用德拜长度取代方程中的$k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}$，有：

$$\lambda_{\mathrm{D}}>\lambda_{\mathrm{n}}=\frac{1}{n_{\mathrm{e}}^{1 / 3}}$$

或者：

$$g=\left(\frac{1}{n_{\mathrm{e}}} \frac{4 \pi}{3} \lambda_{D}^{3}\right)^{-1}<<1$$

括号中的部分表示所谓“德拜球”中的电子数量，“g”是等离子体的一个参数，用来衡量等离子体是否退化或者其退化的程度。如果某个等离子体的“g”很大，我们称其为“非理想的”或者“强耦合经典等离子体”。我们知道：

$$g \propto \frac{n_{\mathrm{e}}^{1 / 2}}{\left(k_{\mathrm{B}} T_{\mathrm{e}}\right)^{3 / 2}}$$

因此，非理想的经典等离子体是非常“冷”，非常“稠密”的，这种情况下，等离子体中粒子之间的相互作用将会变得重要起来。在实验室条件下，可以在尘埃等离子体中观察到这种相互作用，即有时候尘埃粒子会调整成有规律的结构。在离子源等离子体中我们将 $g << 1$ 视为规则，这样的等离子体的行为是经典的，遵循经典玻尔兹曼统计，并且总体上满足非退化条件。

等离子体的粒子输运

我们限定（restrict）我们的讨论在漂移、扩散（diffusion）以及输运对离子源等离子体是重要的前提下，这些过程可以通过“输运系数”来进行表征，也就是我们所说的“迁移率 mobility $b$”，“电导率 conductivity $\sigma$”以及“扩散系数 diffusion coefficient $D$”。

迁移率与电导率

为了更好地理解迁移率的概念，我们考虑一种测量粘性流体粘性大小的简单方法：坠落球体理论。在重力的作用下，经过一小段距离之后一个小金属球会以常速下落，这个常速被用来测量粘性。在离子源等离子体中，粘性是一个可以被忽视的高阶效应（在微积分中，利用泰勒公式可以将非线性的过程转化为线性的过程，在这过程中往往需要忽略高阶余项，这里大概就是这个意思），我们不会深入地考虑它。但是在比如由电场引起的恒定力作用或者其他粒子碰撞引起的摩檫力作用下，一个带电荷的粒子将会获得一个恒定的漂移速度 $\overline{v_{\mathrm{D}}}$ ，在有利（favourable）条件下，这个速度会与其力成比例，比如说对于电场力 $q E$，这个比例常数就是 迁移率 $b$：

$$\vec{v}_{\mathrm{D}}=b q \vec{E}$$

上式的定义是采用Allis的，也有人利用：

$$\vec{v}_{\mathrm{D}}=\tilde{b} \vec{E}$$

相较而言，在Allis的定义中，$b$ 始终都是正数，而在上式中 $b$ 将会因为粒子的不同而带有不同的符号，这在某些情况下将会使事情变得复杂，尤其是在定义电导率的时候。

带电粒子的漂移形成的电流密度可以表示为：

$$\vec{j}_{\mathrm{e}} = q n_{\mathrm{q}} \vec{v}_{\mathrm{D}} = q^2 n_{\mathrm{q}} \vec{E} = \sigma \vec{E}$$

这里我们用Allis的定义来替换 $\vec{v}_{\mathrm{D}}$ 同时以此来定义 电导率 $\sigma$（通过这样定义的电导率始终都是一个正数）。在弱电离等离子体中，摩檫力由中性的带电粒子碰撞产生，对于电子来说，我们可以从动理论得到：

$$b_{\mathrm{e}}=\left\langle 1 / m_{\mathrm{e}} v_{\mathrm{en}}\right\rangle=\left\langle 1 / m_{\mathrm{e}} Q_{\mathrm{en}} v_{\mathrm{e}}\right\rangle \propto 1 / \sqrt{m_{\mathrm{e}}}$$

角括号代表的是基于电子分布函数的平均量， $\nu_{en}$ 是电子与中性粒子之间角动量转移碰撞的碰撞频率， $Q_{en}$ 是角动量转移时各自的 横截面（cross-section） ， $\nu_{e}$ 是单个电子的速度，上式中的平均被定义为：

$$\left\langle 1 / m_{\mathrm{e}} Q_{\mathrm{en}} v_{\mathrm{en}}\right\rangle=\iiint_{v_{\mathrm{s}}}\left(1 / m_{\mathrm{e}} Q_{\mathrm{en}} v_{\mathrm{en}}\right) f\left(\overline{v_{\mathrm{e}}}\right) \mathrm{d}^{3} v_{\mathrm{e}}$$

开始看不懂了，先去进修几天再回来看看能不能看懂。。。